ધારો કે $f: ( -\infty, \infty ) \to ( -\infty, \infty )$ એ $f(x) = x^3 + 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધાન $1$: વિધેય $f$ ને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક અંતિમ મૂલ્ય (local extremum) છે.
વિધાન $2$: વિધેય $f$ એ $( -\infty, \infty )$ પર સતત અને વિકલનીય છે અને $f'(0) = 0$ છે.

વિધેય $f(x) = |x|$ એ $x = 0$ આગળ કેવું છે?

ધારો કે $f: R \to R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જ્યાં $f(2) = 6$ અને $f'(2) = \frac{1}{48}$ છે. તો $\lim_{x \to 2} \int_{6}^{f(x)} \frac{4t^3}{x - 2} dt$ ની કિંમત શોધો.

વિધેય $f(x) = \sqrt{1 - \sqrt{1 - x^2}}$ માટે

ધારો કે $f(x) = x^{13} + x^{11} + x^{9} + x^{7} + x^{5} + x^{3} + x + 12$. તો

ધારો કે $f : (0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $\lim _{t \rightarrow x} \frac{f(x) \sin t - f(t) \sin x}{t-x} = \sin^2 x$ દરેક $x \in (0, \pi)$ માટે. જો $f \left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{12}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A) f \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4 \sqrt{2}}$
$(B) f(x) < \frac{x^4}{6} - x^2$ દરેક $x \in (0, \pi)$ માટે
$(C)$ એવો $\alpha \in (0, \pi)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(\alpha) = 0$
$(D) f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) + f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$